Andrzej Rzymkowski jest absolwentem krakowskiej Akademii Muzycznej w klasie saksofonu Lesława Lica. Po uzyskaniu dyplomu z wyróżnieniem w roku 1982 kontynuował studia instrumentalne u Güntera Priesnera w Norymberdze. Uczestniczył w Światowych Kongresach Saksofonowych oraz międzynarodowych kursach mistrzowskich prowadzonych przez prof. Jean-Marie Londeix‘a, prof. Iwana Roth‘a oraz prof. Eda Bogaard‘a. Jest Profesorem doktorem habilitowanym w Katedrze Instrumentów Dętych Drewnianych i Akordeonu, gdzie prowadzi klasę saksofonu. W latach 2012-2020 był także Kierownikiem Katedry Instrumentów Dętych Blaszanych krakowskiej Akademii Muzycznej. Od wielu lat jest także wykładowcą kursów mistrzowskich w kraju i za granicą, oraz jurorem krajowych i międzynarodowych konkursów saksofonowych. Jest założycielem i prezesem Polskiego Stowarzyszenia Saksofonowego, a także honorowym członkiem Stowarzyszenia ARDESA (Arbeitsgemeinschaft Deutsche Saxophonisten e.V.). W roku 1987 utworzył Lubelskie Laboratorium Muzyczne – formację popularyzującą współczesną muzykę kameralną z udziałem saksofonu, zaś w roku 1994 założył Orsax-Duo, zespół wykonujący utwory napisane na saksofon i organy. Ma na swoim koncie liczne prawykonania utworów napisanych dla niego, zarówno przez kompozytorów polskich jak i zagranicznych (Zbigniew Bujarski, Magdalena Długosz, Mariusz Dubaj, Adam Heideman, Bertold Hummel, Maciej Jabłoński, Mieczysław Mazurek, Tadeusz Karol Mazurek, Maciej Negrey, Michał Pawełek, Bogusław Schaeffer, Adam Walaciński, Łukasz Woś, Ewa Zuchowicz).
Uczestniczył w wielu międzynarodowych festiwalach muzycznych m.in.: Jeunesses Musicales (Kielce), Muzyka w Starym Krakowie, Festiwal Muzyki Współczesnej – Kontrasty (Lwów), Neue Pegnitzschäfer (Norymberga), Międzynarodowy Festiwal Muzyczny w Debreczynie (Węgry), Avantgarde Schwaz (Austria), XV Stage Internationale del Sassofono, Fermo (Włochy). Prowadzi ożywioną działalność koncertową jako solista i kameralista w kraju i za granicą. Jako solista występował z orkiestrami Filharmonii: Narodowej, Krakowskiej, Kieleckiej, Lubelskiej, Szczecińskiej, Wałbrzyskiej oraz z Capellą Cracoviensis i Göttinger Symphonie Orchester (Niemcy).